تحولی بزرگ در ریاضیات؛ پس از اوپن‌ای‌آی، هوش مصنوعی بار دیگر به فرضیه ریمان تعمیم‌یافته نزدیک شد
در کمتر از ده روز، جامعه ریاضیات یکی از پرنوسان‌ترین دوره‌های خود را تجربه کرد؛ دوره‌ای که با پیشرفت‌های پیاپی در اثبات مسائل دشوار ریاضی همراه بود.
در ۶ اکتبر، اوپن‌ای‌آی اعلام کرد که هوش مصنوعی فرضیه شبه‌ریمان را اثبات کرده است.
الکس کونتوروویچ، ریاضی‌دان، بدون تعارف گفت:
اگر کسی به چنین نتیجه‌ای دست پیدا کند، بی‌تردید بلافاصله مدال فیلدز را می‌برد؛ جای هیچ شکی نیست!
او بعدتر افزود که اگر این نتیجه نبودِ صفر سیگل را نیز تأیید کند، می‌توان آن را معادل «دو مدال فیلدز» دانست.
پژوهشگران دیگری نیز ارزیابی‌های مثبتی از این دستاورد ارائه کردند.
این اتفاق به‌مثابه ضربه‌ای از سوی هوش مصنوعی به توانایی انسان در حل مسائل ریاضی بود؛ گویی موجودات مبتنی بر سیلیکون، در رقابت با انسان، ناگهان سطح بازی را تغییر داده‌اند.
بااین‌حال، برخی تسلیم نشدند و دست از تلاش نکشیدند.
اکنون، با کمک هوش مصنوعی، ریاضی‌دانان نوع مشخصی از فرضیه ریمان تعمیم‌یافته را اثبات کرده‌اند!
تنها چند روز بعد، خبرهای خوب یکی پس از دیگری از راه رسیدند.
نتیجه مربوط به فرضیه شبه‌ریمان، پیامدی مهم در نظریه پیچیدگی محاسباتی نیز به همراه داشت:
بورگسر حدس والیانت را اثبات کرد: روی میدان اعداد مختلط، VP ≠ VNP.
پس از آن، سه ریاضی‌دان انسانی ضربه نهایی را وارد کردند و مسئله‌ای کلاسیک را که ۱۹ سال حل‌نشده مانده بود، به‌طور کامل حل کردند.
آن‌ها همچنین بیانیه‌ای منتشر کردند:
در این پژوهش از هیچ ابزار هوش مصنوعی استفاده نشده است.
ضربه‌ای ناگهانی؛ انسان‌ها ابتکار عمل را پس می‌گیرند
اوپن‌ای‌آی در ۶ اکتبر صرفاً به ایده‌ای تازه نرسید یا ناگهان جرقه‌ای ذهنی را تجربه نکرد. هوش مصنوعی این شرکت، همچون بولدوزری نیرومند، با قدرت به سراغ اثبات فرضیه شبه‌ریمان رفت.
هکتور پاستن، نظریه‌پرداز اعداد، با صراحت از نتیجه اوپن‌ای‌آی در رد وجود صفر لاندائو–سیگل ابراز شگفتی کرد و تأکید داشت که این دستاورد مسئله را «حل کرده است»، نه اینکه صرفاً گامی به سوی حل آن برداشته باشد.
برخی کاربران اینترنت از کلود فِیبل ۵.۵ خواستند اثبات ۱۹۹صفحه‌ای اوپن‌ای‌آی درباره فرضیه شبه‌ریمان را توضیح دهد. این مدل ارزیابی بسیار مثبتی از نتیجه ارائه کرد:
این نخستین بازه ثابتِ بدون صفر است که تاکنون به دست آمده است.
اگرچه این نتیجه خودِ فرضیه ریمان نیست، در صورت درست بودن ادعا، از نظر نزدیکی به فرضیه ریمان از هر نتیجه دیگری فراتر می‌رود.
اما اگر هوش مصنوعی بتواند ساختار بنیادی مسئله‌ای در این سطح را نیز درک کند، ریاضی‌دانان انسانی چه جایگاهی خواهند داشت؟
موجی از نگرانی در جامعه ریاضیات گسترش یافت.
بااین‌حال، استادان واقعی از حسرت خوردن دست نمی‌کشند تا فقط نظاره‌گر باشند. وقتی مسیر باز شده است، باید با شتاب پیش رفت و به سراغ مسائل بعدی رفت.
تنها شش روز بعد، در ۱۲ اکتبر، مقاله‌ای تازه به‌طور ناگهانی در سکوی پیش‌چاپ هگزاگون منتشر شد.
نویسندگان این مقاله، دو ریاضی‌دان به نام‌های کیورتون و ثورن بودند.
پیوند مقاله: https://hexagonmath.org/2610.00200v1
آن‌ها فرصتی برای درگیر شدن با احساسات نداشتند. در عوض، با بینشی دقیق و جسورانه، تصمیم گرفتند ابزارهای تازه را به حوزه‌ای دیگر منتقل کنند.
آن‌ها ابزارهایی را که هوش مصنوعی توسعه داده بود، مستقیماً به یک موضوع ریاضیاتی گسترده‌تر و پیچیده‌تر تعمیم دادند: توابع ال هکه با کاراکترهای متناهی‌مرتبه.
تابع ال چیست؟ می‌توان آن را نسخه‌ای تکامل‌یافته از تابع زتای ریمان دانست.
در نظریه اعداد مدرن، تقریباً هیچ‌یک از اثبات‌های برجسته، از جمله اثبات آخرین قضیه فرما، بی‌ارتباط با این توابع نیستند.
کیورتون و ثورن با استفاده از پیشرفت حاصل از نتیجه هوش مصنوعی درباره فرضیه شبه‌ریمان، به نتیجه‌ای چشمگیر رسیدند:
هیچ‌یک از توابع ال هکه با کاراکترهای متناهی‌مرتبه، در ناحیه سمت راستِ خط ۱−۱/۶۰۰۰ صفر ندارند.
پیوند نسخه پی‌دی‌اف مقاله: https://hexagonmath.org/pdf/2610.00200v1
اگر مفهوم این نتیجه برایتان روشن نیست، می‌توان آن را با یک مثال توضیح داد.
صفرها را مانند صخره‌های پنهان در دریا تصور کنید.
در گذشته، مه غلیظی این بخش از دریا را پوشانده بود و کشتی‌ها نمی‌توانستند حتی یک قدم پیش بروند. اکنون این دو ریاضی‌دان، با استفاده از راداری که دستاورد هوش مصنوعی در اختیارشان گذاشته بود، منطقه‌ای امن را مشخص کرده‌اند.
در این منطقه هیچ صخره پنهانی وجود ندارد.
منطقه امن مشخص شده است و انسان‌ها نخستین بخش از این قلمرو را به دست آورده‌اند.
اما بخش هیجان‌انگیز ماجرا تازه آغاز شده بود.
شتاب تا نهایت؛ گسترش منطقه عاری از صفر از ۱/۶۰۰۰ به ۱/۳۲
به‌محض آنکه عدد ۱/۶۰۰۰ مطرح شد، علاقه‌مندان ریاضیات در سراسر جهان به تکاپو افتادند.
این مقدار بیش از حد کوچک و محافظه‌کارانه به نظر می‌رسید.
وقتی چارچوب محدودکننده تا این اندازه سست شده است، چرا کل دیوار را فرو نریزیم؟
به‌سرعت، یک رویداد جهانی و آزاد برای همکاری و بهبود نتایج ریاضی شکل گرفت.
باهوش‌ترین افراد در سراسر جهان از طریق اینترنت به هم پیوستند و تلاش کردند این ثابت را تا حد ممکن کاهش دهند.
این صحنه یکی از هیجان‌انگیزترین لحظات ریاضیات مدرن بود؛ رقابتی جمعی برای تنگ‌تر کردن هرچه بیشتر کران‌ها آغاز شده بود.
استدلال‌ها ساده‌سازی شدند، خطاها کنار گذاشته شدند و مرز بارها و بارها به بیرون رانده شد.
۱/۱۰۰۰، ۱/۵۰۰ و ۱/۱۰۰.
مقدار ثابت با سرعتی چشمگیر کاهش یافت؛ گویی جسمی آزادانه در حال سقوط بود.
در نهایت، جامعه ریاضیات مرز امن این «ناحیه عاری از صفر» را به عددی بسیار چشمگیر رساند: ۱/۳۲.
در نتیجه، محدوده امن صدها برابر گسترش یافت.
نگران خطا هستید؟ به شهود انسانی اعتماد ندارید؟ راه‌حل ساده است: از تأیید ماشینی استفاده کنید.
جامعه متن‌باز از داوری سخت‌گیرانه‌ای بهره گرفت: اثبات‌گر قضیه لین (Lean).
لین زبانی برای صورت‌بندی و بررسی صوری اثبات‌هاست که فقط منطق دقیق را می‌پذیرد. وجود کوچک‌ترین شکاف منطقی می‌تواند باعث رد شدن اثبات در فرایند بررسی شود.
عامل ریاضیاتی AxiomProver اثبات مربوطه را در قالب یک اثبات صوری در لین تولید کرده است و این اثبات در گیت‌هاب به‌صورت متن‌باز در دسترس است.
پیوند پروژه: https://github.com/AxiomMath/DedekindZetaZeroFree
بنابراین، مرز ۱/۳۲ نه‌تنها با تلاش ریاضی‌دانان به دست آمده، بلکه با منطق ماشینی نیز به‌صورت صوری تثبیت شده است.
این تنها دستاورد جانبی ماجرا نبود.
ضربه نهایی؛ حل کامل مسئله‌ای که ۱۹ سال باز مانده بود
همه تلاش‌ها و هیجان‌های پیشین به این لحظه منتهی شدند.
مقاله‌ای مهم با همکاری فرای، سوموس و ویدمر در پایگاه پیش‌چاپ آرکایو منتشر شد.
پیوند مقاله: https://arxiv.org/abs/2610.18491
موج علمی‌ای که با دستاورد اوپن‌ای‌آی آغاز شده بود، سرانجام یکی از دشوارترین موانع این حوزه را از میان برداشت.
هدف، کران النبرگ–ونکاتش در سال ۲۰۰۷ بود؛ مسئله‌ای دیرپا در نظریه اعداد جبری.
در سال ۲۰۰۷، دو ریاضی‌دان برجسته کرانی بسیار دقیق برای پیچ‌تابیِ ℓ گروه کلاس یک میدان عددی ارائه کرده بودند.
اما این نتیجه یک ایراد اساسی داشت: اثبات آن مشروط بود؛ به تعبیری، بر پایه بنایی در هوا ساخته شده بود.
اثبات این دو ریاضی‌دان به فرض درستی «فرضیه ریمان تعمیم‌یافته» یا GRH وابسته بود.
اگر این فرض از اعتبار می‌افتاد، نتیجه نیز بلافاصله اعتبار خود را از دست می‌داد.
در طول ۱۹ سال، شمار زیادی از پژوهشگران برجسته کوشیدند این تکیه‌گاه فرضی را حذف کنند تا اثبات بدون اتکا به فرضیه ریمان تعمیم‌یافته پابرجا بماند، اما تلاش‌هایشان بی‌نتیجه ماند. ابزارهای لازم در دسترس نبود و مبنای نظری موردنیاز هنوز فراهم نشده بود.
تا امروز.
فرای، سوموس و ویدمر متوجه شدند که گروه پیشین توانسته است با استفاده از نتایج جدید، «منطقه امن» عاری از صفر را تا مرز ۱/۳۲ گسترش دهد.
این همان پایه‌ای بود که آن‌ها ۱۹ سال در انتظارش بودند.
این سه ریاضی‌دان بی‌درنگ دست به کار شدند.
آن‌ها نتیجه جدید درباره ناحیه عاری از صفر را با قدرت در اثبات قدیمی به کار گرفتند. با پشتیبانی این چارچوب نظری تازه، زنجیره استدلالی که پیش‌تر ناقص بود، سرانجام کامل شد.
استنتاج، ساده‌سازی و ضربه نهایی؛ نتیجه چشمگیر بود: کران النبرگ–ونکاتش در سال ۲۰۰۷ برای پیچ‌تابیِ ℓ گروه کلاس یک میدان عددی، بدون هیچ فرض اضافی، اثبات شد.
دیگر نه فرضی در کار بود و نه شرطی. بنایی که پیش‌تر بر پایه فرضی ناپایدار بنا شده بود، اکنون بر زمینی محکم ایستاده بود.
مسئله‌ای که ۱۹ سال حل‌نشده مانده بود، سرانجام کنار رفت.
یکی از قطعات مهم پازل نظریه اعداد جبری به دست ریاضی‌دانان در جای خود قرار گرفت.
«ما از هوش مصنوعی استفاده نکردیم»
اگر داستان در همین‌جا به پایان می‌رسید، تنها با یک همکاری علمی موفق و انتقال دستاوردها از گروهی به گروه دیگر روبه‌رو بودیم.
اما آنچه این مقاله را به اثری به‌یادماندنی تبدیل کرد، جمله‌ای بود که در پایان آن آمده است.
فرای، سوموس و ویدمر در مقاله‌ای که از حل مسئله‌ای ۱۹ساله خبر می‌داد، نه سخنانی طولانی و احساسی نوشتند و نه از هوش مصنوعی تمجید کردند.
آن‌ها فقط جمله‌ای کوتاه، خشک، طنزآمیز و تا حدی جسورانه بر جای گذاشتند:
اعلام می‌کنیم که در این پژوهش از هیچ ابزار هوش مصنوعی استفاده نشده است.